Prasilošimo rizika
Tikimybė prarasti visą lošimo biudžetą anksčiau, nei pasieksite tikslą.
Statymams 1:1 prasilošimo rizika apskaičiuojama pagal lošėjo prasilošimo formulę. Turėdami $500 lošimo biudžetą, statydami po $10 ir siekdami $600, tikslą pasiekiate maždaug 57% atvejų, o likusiais prasilošiate.
Klausimas
Turite a vienetųpinigaiVienetasBazinė statymo suma, kuria remiasi sistema arba lošėjas. Progresijos aprašomos vienetais, kad tiktų bet kuriam stalui.Skaityti visą → lošimo biudžetopinigaiLošimo biudžetasVisa lošimui atidėta suma (žargone – bankrolas). Lošimo biudžeto valdymas – tai sprendimas, kokią jos dalį rizikuoti vienu statymu ir per vieną sesiją.Skaityti visą → ir norite pasiekti a + b vienetų, kiekvieną kartą statydami vieną vienetą statymu 1:1statymasStatymas 1:1Raudona / juoda, nelyginiai / lyginiai, dideli / maži. 18 skaičių, moka 1:1.Skaityti visą →, kurio laimėjimo tikimybėmatematikaTikimybėBaigties tikimybė, nuo 0 iki 1 arba nuo 0% iki 100%. Vienas skaičius: 1/37 = 2,70%.Skaityti visą → p = 18/37, o pralaimėjimo tikimybė q = 19/37. Kokia tikimybė, kad tikslą pasieksite anksčiau nei nulį? Atsakymą XVII a. šeštajame dešimtmetyje rado Pascalis, Fermat ir Huygensas, ir tai vienas seniausių tikimybių teorijos rezultatų.
Lošėjo prasilošimo formulė
P(pasiekti tikslą) = (1 − (q/p)ᵃ) / (1 − (q/p)ᵃ⁺ᵇ). Prasilošimo rizikamatematikaPrasilošimo rizikaTikimybė prarasti visą lošimo biudžetą anksčiau, nei pasiekiamas tikslas arba numatytas sukimų skaičius.Skaityti visą → – vienetas minus ši reikšmė. Kai q/p = 19/18 ≈ 1,0556, santykis auga eksponentiškai priklausomai nuo vienetų skaičiaus, todėl formulė griežtai baudžia už mažus vienetus: kuo daugiau statymų reikia tikslui pasiekti, tuo daugiau kartų pakeliui sumokamas 2,70% mokestis.
Kaip tai suprasti
Maži vienetai kenkia. Bandymas padvigubinti $500 statant po $10 pavyksta 6% atvejų; vienu $500 statymu – 48,6% atvejų. Drąsus lošimas – mažiau ir didesnių statymų – maksimaliai padidina tikimybę pasiekti tikslą lošime su neigiama tikėtinąja verte, nes taip pranašumas pritaikomas mažiausiai kartų. Jis taip pat maksimaliai padidina dispersijąmatematikaDispersijaMatas, rodantis, kaip plačiai rezultatai išsibarstę aplink tikėtinąją vertę. Didelė statymo ant vieno skaičiaus, maža statymų 1:1.Skaityti visą → to, kas jums nutiks, ir greitai užbaigia vakarą. Teorema vadinama „drąsus lošimas optimalus“, ją 1965 m. įrodė Dubinsas ir Savage'as.
Kur prasidėjo šis uždavinys
Šis klausimas senesnis už ruletę. 1656 m. Pascalis pateikė Fermat galvosūkį: du lošėjai meta tris kauliukus, kiekvienas pradeda su 12 žetonų; metus 11 vienas žetonas pajuda į vieną pusę, metus 14 – į kitą. Abu jį išsprendė, o Huygensas, apie jį sužinojęs iš matematiko Pierre'o de Carcavi laiško, 1657 m. paskelbė jį kaip penktąjį pirmosios knygos apie tikimybes uždavinį – su atsakymu, bet be įrodymo. Vienuolika galima išmesti 27 būdais, o keturiolika – tik 15, todėl kiekvienas žetonas pirmojo lošėjo naudai pajuda 9 kartus iš 14, ir aukščiau pateikta formulė, kai kiekvienas turi po 12 žetonų, rodo, kad jam maždaug 1 157 kartus labiau tikėtina laimėti viską nei viską prarasti. 2,70% pranašumas gerokai mažesnis, bet ta pati formulė parodo, ką jis padaro per daug statymų.
Tikras drąsus statymas
2004 m. balandį jaunas anglas Ashley Revellas pardavė beveik viską, ką turėjo, įskaitant drabužius, ir su $135 300 nuvyko į Plaza Las Vegase. Po kelių nedidelių statymų jis visą sumą vieną kartą pastatė ant raudonosstatymasRaudonaStatymas 1:1 ant 18 raudonų skaičių. Prancūziškai: rouge.Skaityti visą →. KamuoliukasįrangaKamuoliukasMažas kamuoliukas, paleidžiamas takeliu priešinga rotoriaus sukimuisi kryptimi. Šiuolaikiniai kamuoliukai gaminami iš aivorino arba teflono, 18–21 mm.Skaityti visą → nukrito ant raudonos 7, ir jis išėjo su $270 600. Prie rato su dvigubu nuliuratasNulisVienintelis žalias skyrelis, kurio nedengia nė vienas statymas 1:1, tuzino ar stulpelio statymas; kazino pranašumo šaltinis. Dar vadinama: vienas nulis, 0.Skaityti visą → to vieno sukimo tikimybė buvo 47,37%, o vidutiniškai tai jam kainavo $7 121 – 5,26% pranašumą vienam statymui. Išskaidžius į statymus po $10, tas pats tikslas būtų buvęs beveik beviltiškas. Drąsus lošimas nepadaro statymo gero; jis padaro jį kuo trumpesnį.
Prasilošimo rizika be tikslo
Jei tiesiog lošiate, kol prasilošiate, arba sustojate po N sukimų, klausimas tampa toks: „kokia tikimybė, kad mano lošimo biudžetas per N sukimų pasieks nulį?“. Bendram N uždaros formulės nėra, bet šios svetainės simuliatoriai tai apskaičiuoja: $500 lošimo biudžetas, statant po $10 ant raudonos, per 100 sukimų beveik niekada neišsenka (mažiau nei 1%), per 500 sukimų išsenka maždaug 9% atvejų, o per 5 000 – maždaug 95% atvejų. Be sustojimo taisyklės tikimybė artėja prie 100% – tai ilgojo laikotarpio kazino pranašumomatematikaKazino pranašumasKiekvienos statymo sumos dalis, kurią kazino vidutiniškai pasilieka: europietiškoje ruletėje – 2,70%.Skaityti visą → versija.
- p10 −$500
- p25 −$500
- mediana −$500
- p75 +$0
- p90 +$350
Kiek ilgai ir kiek daug į priekį
Dar du klasikiniai rezultatai atsako į klausimus, kuriuos lošėjai iš tikrųjų užduoda. Be tikslo vienodi statymai 1:1 prie europietiško rato vidutiniškai trunka 37 sukimus kiekvienam lošimo biudžeto vienetui, o prie amerikietiško – 19, nes kiekvienas sukimas vidutiniškai atima 1/37 vieneto (prie amerikietiško rato – 1/19): 100 vienetų vidutiniškai užtenka 3 700 sukimų, nors pusė tokių sesijų baigiasi per 3 134 (žr. „Sesijos trukmė ir kaina“). Ir kad ir koks didelis būtų lošimo biudžetas, prie europietiško rato tikimybė kada nors būti k vienetų pliuse yra (18/19)ᵏ. Vienam vienetui tai 95%, dešimčiai – 58%, bet joks, net ir begalinis, lošimo biudžetas nesuteikia lygių galimybių kada nors atsidurti 13 vienetų pliuse; prie amerikietiško rato tikimybė yra (9/10)ᵏ ir nukrenta žemiau pusės ties 7 vienetais.
Sesijos trukmė ir kainaAmerikietiška ruletė: ratas ir taisyklės
Lošimo biudžetas lygioms galimybėms
Apverskite klausimą: kiek reikia atsinešti, kad tikimybė laimėti tam tikrą sumą anksčiau, nei prarasite viską, būtų bent pusė? Mažam laimėjimui – nedaug. Didesniam reikalingas lošimo biudžetas staigiai auga, o nuo tam tikros ribos jokio lošimo biudžeto nepakanka, nes net ir begalinis suteikia mažesnę nei pusės tikimybę kada nors atsidurti taip toli pliuse. Tayloras (2021) tai pasako kitaip: prie amerikietiško rato, kad tikimybė pasiekti 100 vienetų būtų pusė, reikia pradėti nuo 94, rizikuojant 94, kad laimėtumėte 6. Prie europietiško rato reikėtų 88.
Praktinė pamoka
Nuspręskite, ko siekiate. Jei tikslas – konkretus laimėjimas, statykite stambiai ir retai. Jei tikslas – ilgas vakaras, statykite mažai ir susitaikykite, kad pranašumas paims savo 2,70% nuo didelės apyvartospinigaiApyvartaVisa per sesiją arba laikotarpį pastatyta suma, įskaitant iš naujo pastatytus laimėjimus. Angliškai dar: handle, action.Skaityti visą → (visos pastatytos sumos). Jei tikslas – abu, kažko teks atsisakyti, ir dažniausiai tai būna tikslas.
Formulė
Klausimai
Martingale sistemastrategijaMartingale sistemaProgresija, po kiekvieno pralaimėjimo dvigubinanti statymą. Ką ji daro ir ko nedaro, žr. skyriuje „Strategijos“.Skaityti visą → ją sumažina trumpoms sesijoms ir drastiškai padidina ilgoms. Vienodi statymaistrategijaVienodi statymaiTos pačios sumos statymas kiekvieną sukimą. Atskaitos taškas, su kuriuo lyginama kiekviena progresija.Skaityti visą → didesniu vienetu – sąžiningas būdas ją sumažinti.
Aukščiau pateikta formulė skirta statymams 1:1. Didelės dispersijos statymams prasilošimas esant mažoms sumoms labiau tikėtinas, o tikslas pasiekiamas netolygiais šuoliais; naudokitės skaičiuokle.
Kiekvienas žingsnis tikslo link šiek tiek mažiau tikėtinas nei kiekvienas žingsnis prasilošimo link; santykis kaupiasi per visų žingsnių skaičių.
Linksmoji matematika
Pirmiausia pabandykite išspręsti patys. Kiekvienas sprendimas suskleistas; atverskite jį, kai norėsite.
Turite $100 ir norite $1 000, statydami tik ant raudonosstatymasRaudonaStatymas 1:1 ant 18 raudonų skaičių. Prancūziškai: rouge.Skaityti visą →. Pirmas planas: statyti po $1. Antras planas: statyti viską, ką turite, kol viršysite $500, tada tik tiek, kad pasiektumėte $1 000. Kuris planas geresnis ir kiek?
Rodyti sprendimą
Atsakymas Antrasis, ir gerokai. Jis pasiekia $1 000 maždaug 9,0% atvejų, arti teisingų 10%. Pirmasis planas pavyksta maždaug 7 kartus iš 10²².
Teisingame lošimematematikaTeisingas lošimasLošimas, kuriame nė viena pusė neturi pranašumo: kiekvieno statymo tikėtinoji vertė lygi nuliui.Skaityti visą → nuo $100 iki $1 000 nusigautumėte vieną kartą iš dešimties, kad ir ką darytumėte, nes vidutinė jūsų pinigų vertė lieka $100.
Kazino pranašumas atima 2,70% nuo kiekvieno statymo, todėl kuo mažiau iš viso pastatote, tuo arčiau vieno iš dešimties liekate. Antrasis planas reikalą išsprendžia keliais statymais: $100 tampa $200, $400, $800, ir tada pakanka $200. Jis pavyksta maždaug 9,0% atvejų. Pirmajam planui prireikia tūkstančių statymų, kol klajonė baigiasi, o pranašumas, mažas kiekviename iš jų, susideda į beveik neišvengiamą prasilošimą.
Tai paprasčiausios formos Dubinso ir Savage'o rezultatas (Epsteinas, 2013): lošime, kuriame pranašumas priklauso kazino, statykite tiek, kiek reikia, ir kuo mažiau kartų.
Turite $500 ir norite $1 000, sustodami, vos tik juos turėsite. Pasirenkate vieną statymo rūšį ir ją kartojate, kol ji vieną kartą laimi arba baigiasi pinigai. Kuri rūšis suteikia didžiausią tikimybę?
Rodyti sprendimą
Atsakymas Vienas $500 statymas ant raudonos: 48,6%. Kiekvienas planas, paskirstantis pinigus mažesniems statymams, yra prastesnis.
Kiekvieną statymo sumą pasirinkite taip, kad pakaktų vieno laimėjimo: $30 ant vieno skaičiausstatymasVienas skaičius (straight up)Vienas skaičius, moka 35:1.Skaityti visą → laimi $1 050, $60 ant dviejų skaičiųstatymasDu skaičiai (split)Du gretimi skaičiai, moka 17:1.Skaityti visą → laimi $1 020 ir t. t. Tada suskaičiuokite tikimybę, kad bent vienas statymas laimės, kol baigsis pinigai. Šešiolika $30 statymų ant vieno skaičiaus visi nepataiko su tikimybe (36/37)¹⁶ = 64,5%, todėl $1 000 jie pasiekia 35,5% atvejų.
Lentelėje parodytas kiekvienas statymas. Raudona geriausia, nes tikslą pasiekia vienu statymu, todėl pranašumas sumokamas vieną kartą, nuo $500. Statymas ant šešių skaičiųstatymasŠeši skaičiai (six line)Šeši skaičiai dviejose gretimose eilėse, moka 5:1. Prancūziškai: sixain.Skaityti visą → antras, nes jam reikia tik trijų. Vienas tuzinostatymasTuzinas1–12, 13–24 arba 25–36, moka 2:1.Skaityti visą → statymas blogiausias, tikimybė 12/37; net lošiant $250 vienetaispinigaiVienetasBazinė statymo suma, kuria remiasi sistema arba lošėjas. Progresijos aprašomos vienetais, kad tiktų bet kuriam stalui.Skaityti visą →, kol turėsite $1 000 ar daugiau, tuzinas ten nusigauna tik 46,4% atvejų.
Bollmanas (2024) tokią pat lentelę sudaro amerikietiškam ratui. Jo tuzino eilutėje yra klaida: turėtų būti 12/38 = 31,6%.
statymasstatymo suma × statymų skaičiustikimybė pasiekti $1 000Vienas skaičius (straight up)$30 × 1635,5%Du skaičiai (split)$60 × 835,9%Trys skaičiai (street)$90 × 534,5%Keturi skaičiai (corner)$125 × 436,7%Šeši skaičiai (six line)$166, $166, $16841,2%Tuzinas$500 × 132,4%Raudona$500 × 148,6%Statote vieną vienetą ant raudonos, sukimas po sukimo, su lošimo biudžetupinigaiLošimo biudžetasVisa lošimui atidėta suma (žargone – bankrolas). Lošimo biudžeto valdymas – tai sprendimas, kokią jos dalį rizikuoti vienu statymu ir per vieną sesiją.Skaityti visą →, kuris niekada nesibaigia. Po pirmo sukimo esate vienu vienetu pliuse arba minuse. Kokia tikimybė, kad kada nors vėl būsite lygiai ties nuliu?
Rodyti sprendimą
Atsakymas 36 iš 37, 97,3%. Amerikietiškame rate – 36 iš 38, 94,7%.
Jei pirmas sukimas laimi (18 kartų iš 37), esate vienu vienetu pliuse, o pranašumas kiekvieną begalinę sesiją tempia žemyn, todėl anksčiau ar vėliau vėl pereisite per nulį: tai neišvengiama. Jei pralaimi (19 kartų iš 37), turite pakilti vienu vienetu, o tikimybė kada nors būti vienu vienetu pliuse yra 18/19 (žr. lentelę aukščiau).
Kartu: 18/37 + 19/37 × 18/19 = 18/37 + 18/37 = 36/37.
Apskritai tikimybė yra 1 minus skirtumas tarp sukimo laimėjimo ir pralaimėjimo tikimybių: 1 − 1/37 europietiškame rate, 1 − 2/38 amerikietiškame. Lošime be nulioratasNulisVienintelis žalias skyrelis, kurio nedengia nė vienas statymas 1:1, tuzino ar stulpelio statymas; kazino pranašumo šaltinis. Dar vadinama: vienas nulis, 0.Skaityti visą → skirtumo nėra ir tikimybė lygi 1: rezultatas visada grįžta į nulį. Epsteinas (2013) pateikia bendrą taisyklę.
Pascalio 1656 m. uždavinys: du lošėjai meta tris kauliukus, kiekvienas pradeda su 12 žetonų. Kiekvienas 11 perkelia žetoną pirmajam lošėjui, kiekvienas 14 – antrajam; kiti metimai neskaičiuojami. Kokia tikimybė, kad pirmasis laimės visus 24? O jei vietoj to statytumėte 1 vienetą ant raudonos kiekvieną sukimą prieš draugą, kuris atlieka banko vaidmenį, po 12 vienetų kiekvienam, kokia tikimybė, kad laimėsite visus 24?
Rodyti sprendimą
Atsakymas Pirmasis lošėjas laimi maždaug 1 157 kartus iš 1 158. Jūs, statydami ant raudonos, visus 24 vienetus laimite tik maždaug 34% atvejų.
Trys kauliukai sudaro 11 27 būdais ir 14 – 15 būdų, todėl kiekvienas perkeliamas žetonas pirmajam lošėjui atitenka 27 kartus iš 42, 9 kartus iš 14. Kai kiekviena pusė pradeda nuo 12, tikimybė laimėti viską yra 1/(1 + r¹²), kur r – kitos pusės ir jūsų tikimybių santykis.
Pirmajam lošėjui r = 5/9, ir (5/9)¹² ≈ 0,00086, todėl tikimybė yra apie 0,99914: šansai 9¹² prieš 5¹², arba 282 429 536 481 prieš 244 140 625, apie 1 157 prieš 1. Huygensas 1657 m. išspausdino būtent šiuos skaičius.
Ant raudonos r = 19/18 dėl nulio, ir (19/18)¹² ≈ 1,913: jūsų tikimybė 1/2,913 ≈ 34,3%. Moneta duotų 50%. 2,70% pranašumas kiekviename statyme per daugybę statymų, kurių prireikia, susideda į 16 punktų skirtumą.
Komiška pertraukėlė
Drąsus lošimas optimalus. Ir greitai baigiasi.
Šaltiniai
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.
- Carcavi, P. de. Laiškas Huygensui, 1656 m. rugsėjo 28 d., apie uždavinį, kurį Pascalis pateikė Fermat.
- Huygens, C. De Ratiociniis in Ludo Aleae.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Reuters. “Briton bets it all on roulette spin, and wins.”
- Las Vegas Sun. “Man wagers life’s worth.”