Ilgalaikė konvergencija: didžiųjų skaičių dėsnis ruletėje
Kaip vidurkis nusistovi ties −2,70% ir kodėl tai užtrunka ilgiau, nei atrodo intuityviai.
Daugėjant sukimų, vidutinis nuostolis per sukimą artėja prie −1/37, o sklaida mažėja kaip 1/√N. Po 1 000 sukimų statant ant raudonos vidurkis paprastai būna ±3% ribose nuo savo tikėtinosios vertės.
Didžiųjų skaičių dėsnis
Nepriklausomų statymų slenkamasis vidurkis artėja prie tikėtinosios vertėsmatematikaTikėtinoji vertėVidutinis vieno statymo rezultatas ilguoju laikotarpiu (matematikoje – vidurkis, matematinė viltis). Kiekvienam standartiniam europietiškos ruletės statymui tai −1/37 statymo sumos.Skaityti visą →. Po N sukimų, kai kaskart statomas vienas vienetaspinigaiVienetasBazinė statymo suma, kuria remiasi sistema arba lošėjas. Progresijos aprašomos vienetais, kad tiktų bet kuriam stalui.Skaityti visą → statymu 1:1 (paprastieji šansai), vidutinio rezultato per sukimą tikėtinoji vertė yra −1/37, o standartinis nuokrypismatematikaStandartinis nuokrypisKvadratinė šaknis iš dispersijos; tipiškas rezultato atstumas nuo tikėtinosios vertės.Skaityti visą → – 1/√N. Kai N = 100, ši sklaida sudaro 10% statymo, beveik keturis kartus daugiau nei 2,7% signalas. Kai N = 1 000, ji yra 3,2%, maždaug tiek pat, kiek signalas. Kai N = 10 000, ji yra 1%, ir pranašumas aiškiai matomas. Per vieną sesiją pranašumo nesimato, o per metus jis neabejotinas.
Kas artėja ir kas ne
Vidurkis per sukimą artėja. Suma – ne: didėjant N ji vis labiau tolsta nuo nulio, tikėtinai maždaug 2,7% nuo N, su √N sklaida aplink šią reikšmę. Sulošus 10 000 sukimų po $10, tikėtinas nuostolis yra $2 700, plius minus $1 000. Iškritusių raudonųstatymasRaudonaStatymas 1:1 ant 18 raudonų skaičių. Prancūziškai: rouge.Skaityti visą → dalis jau seniai nusistovėjo ties 48,65%, o einamasis likutis nenusistovėjo niekur.
- p10 −$440
- p25 −$280
- mediana −$140
- p75 +$0
- p90 +$140
Kodėl intuicija klysta
Žmonės tikisi, kad pranašumas išryškės greitai, nes 2,70% skamba nemažai, ir tikisi, kad ilgos serijos „išsilygins“, nes didžiųjų skaičių dėsnismatematikaDidžiųjų skaičių dėsnisNepriklausomų rezultatų vidurkis artėja prie tikėtinosios vertės, kai bandymų skaičius didėja.Skaityti visą → sako, kad vidurkiai artėja. Abi intuicijos klaidingai įvertina mastą: pranašumas mažas, palyginti su vieno sukimo dispersijamatematikaDispersijaMatas, rodantis, kaip plačiai rezultatai išsibarstę aplink tikėtinąją vertę. Didelė statymo ant vieno skaičiaus, maža statymų 1:1.Skaityti visą → (σ = 1 vienetas, o EV = 0,027), todėl reikia (1/0,027)² ≈ 1 400 sukimų, kad jis taptų matomas vieno sigma lygiu. O vidurkio artėjimas visiškai netraukia sumos atgal; jis tik praskiedžia ankstesnius svyravimus.
Artėjimas kitiems statymams
Statymui ant vieno skaičiausstatymasVienas skaičius (straight up)Vienas skaičius, moka 35:1.Skaityti visą → (straight up) σ = 5,84, todėl tas pats skaičiavimas duoda (5,84/0,027)² ≈ 47 000 sukimų, kol pranašumas pasiekia vieną sigma. Ant vieno skaičiaus statantis lošėjas gali lošti metų metus, ir jo paties įrašuose pranašumo nebus įmanoma atskirti nuo sėkmės, nors jis moka lygiai tuos pačius 2,70%, kaip ir ant raudonos statantis lošėjas, kuris tai pamato per kelias savaites.
Ką tai reiškia tikrinant sistemas
Kas teigia, kad sistema veikia, turėtų gebėti tai parodyti per 10 000 ar daugiau sukimų su dokumentuotu teigiamu vidurkiu. Per 1 000 sukimų teigiamas vidurkis statant 1:1 pagal nulinę hipotezę pasitaiko vieną kartą iš penkių; per 100 sukimų tai beveik monetos metimas. Šios svetainės simuliatoriai per sekundę sumodeliuoja 2 000 jūsų pasirinkto ilgio sesijų – tai daugiau įrodymų nei bet kuris liudijimas.
Formulė
Klausimai
Lošiant toliau, tikimybėmatematikaTikimybėBaigties tikimybė, nuo 0 iki 1 arba nuo 0% iki 100%. Vienas skaičius: 1/37 = 2,70%.Skaityti visą → kada nors vėl būti su pelnu mažėja artėdama prie nulio. Suma be jokių ribų slenka žemyn.
Ne. Tai reiškia, kad ankstesni svyravimai tampa vis mažesne vis didesnės imties dalimi.
Statymams 1:1 – maždaug po 10 000, kol pranašumas aiškiai matomas. Statymams ant vieno skaičiaus – maždaug po 50 000.
Linksmoji matematika
Pirmiausia pabandykite išspręsti patys. Kiekvienas sprendimas suskleistas; atverskite jį, kai norėsite.
Du draugai lošia 20 raundų teisingo lošimomatematikaTeisingas lošimasLošimas, kuriame nė viena pusė neturi pranašumo: kiekvieno statymo tikėtinoji vertė lygi nuliui.Skaityti visą → – monetos metimą arba raudonąstatymasRaudonaStatymas 1:1 ant 18 raudonų skaičių. Prancūziškai: rouge.Skaityti visą → prieš juodąstatymasJuodaStatymas 1:1 ant 18 juodų skaičių. Prancūziškai: noir.Skaityti visą →, kai nuliairatasNulisVienintelis žalias skyrelis, kurio nedengia nė vienas statymas 1:1, tuzino ar stulpelio statymas; kazino pranašumo šaltinis. Dar vadinama: vienas nulis, 0.Skaityti visą → grąžinami, – ir veda bendrą rezultatą. Suskaičiuokite raundus, kuriais kiekvienas pirmauja (lygus rezultatas priskiriamas tam, kuris pirmavo prieš tai). Kas labiau tikėtina: kad pirmavimas pasidalytas 10 raundų prieš 10 ar kad vienas draugas pirmauja visus 20?
Rodyti sprendimą
Atsakymas Daug labiau tikėtina, kad vienas draugas pirmaus visus 20 raundų: 35,2%, skaičiuojant bet kurį draugą, palyginti su 6,1% lygiam pasidalijimui 10 prieš 10.
Tikimybė, kad teisingo lošimo bendras rezultatas po 2k raundų yra lygus, yra u = C(2k, k)/2²ᵏ: 0,246 po 10 raundų ir 0,176 po 20. Klasikinis rezultatas, arksinuso dėsnis, teigia, kad tikimybė, jog konkretus draugas pirmauja lygiai 2k iš 2n raundų, yra u(2k) × u(2n − 2k).
Pirmavimas visus 20: u(20) × u(0) = 0,176 kiekvienam draugui, 35,2% bet kuriam. Lygus pasidalijimas: u(10) × u(10) = 0,246² = 6,1%, mažiausiai tikėtinas pasidalijimas iš visų.
Taigi teisingame lošime pirmavimas retai pereina iš rankų į rankas. Lošėjas, kuris visą vakarą pirmavo arba visą vakarą atsiliko, nematė nieko neįprasto, ir tai nieko nepasako nei apie ratą, nei apie įgūdžius. Epsteinas (2013) pateikia tą patį dėsnį ilgesniems lošimams: pusę atvejų laimingesnioji pusė pirmauja daugiau nei 85% lošimo laiko.
Komiška pertraukėlė
Vidurkis artėja. Suma tiesiog nueina.
Šaltiniai
- Bernoulli, J. Ars Conjectandi.
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.