Uždavinys: gimtadienių ratas
Po kiek sukimų kuris nors skaičius pasikartos? Gerokai greičiau, nei mano dauguma žmonių.
Gimtadienių uždavinys 37 skyreliųįrangaSkyrelisVienas iš 37 sunumeruotų rotoriaus skyrelių. Angliškai dar: slot, cup.Skaityti visą → rate: jau po 8 sukimų tikimybė, kad kuris nors skaičius iškrito du kartus, yra didesnė nei pusė. Lošėjai pasikartojimus laiko dėsningumais, nors tai įprasta nešališko rato elgsena.
Uždavinys
Sukite nešališką europietiškos ruletės ratą. Po kiek sukimų tikimybėmatematikaTikimybėBaigties tikimybė, nuo 0 iki 1 arba nuo 0% iki 100%. Vienas skaičius: 1/37 = 2,70%.Skaityti visą →, kad bent du sukimai davė tą patį skaičių, viršys pusę? Dauguma lošėjų spėja maždaug 18 ar 19, pusę iš 37. Atsakymas – 8.
Sprendimas
Apskaičiuokite tikimybę, kad pasikartojimo nėra, ir atimkite ją iš vieneto. Po k sukimų p(visi skirtingi) = (37/37)(36/37)(35/37)…((38 − k)/37). Kai k = 8: 1 × 0,973 × 0,946 × 0,919 × 0,892 × 0,865 × 0,838 × 0,811 ≈ 0,44, taigi p(koks nors pasikartojimas) ≈ 0,56. Kai k = 14, ji yra 0,93; kai k = 20 – 0,996. Intuicija klysta, nes sukimų porų skaičius auga kaip k², o sutapti gali bet kuri pora.
Kodėl tai svarbu prie stalo
Rezultatų švieslentėje su paskutiniais 20 skaičių beveik visada bus bent vienas pasikartojimas, dažnai du ar trys. Lošėjai mato „17 iškrito du kartus per dešimt sukimų“ ir daro išvadą, kad 17 – karštas skaičius; gimtadienių aritmetika sako, kad pasikartojimas per dešimt sukimų nutinka 74% atvejų, o pasikartojęs skaičius yra atsitiktinis. Dėsningumas tikras; jo prasmė – ne.
Tolesnis uždavinys
Po kiek sukimų konkretus skaičius, tarkime 17, iškris du kartus? Tai kitas klausimas su gerokai didesniu atsakymu: tikėtinas laukimas – 74 sukimai, o tikimybė, kad per 20 sukimų 17 iškris du kartus, yra apie 10%. Skirtumas tarp „kuris nors skaičius pasikartoja“ (8 sukimai) ir „šis skaičius pasikartoja“ (74 sukimai) – tai visas skirtumas tarp dėsningumo, kurį pastebite po fakto, ir prognozės, kurią darote iš anksto.
Išbandykite
Paleiskite Demonstracinį žaidimą dešimčiai sukimų ir pažiūrėkite į istoriją. Paprastai joje bus pasikartojimas. Paleiskite dar kartą. Pasikartojęs skaičius bus kitas. Padarykite tai dešimt kartų, ir pamatysite gimtadienių uždavinįmatematikaGimtadienių uždavinysKiek žmonių reikia, kad dviejų gimtadieniai tikriausiai sutaptų, arba kiek sukimų, kol kuris nors skaičius tikriausiai pasikartos. 37 skyrelių rate 8 sukimų pakanka, kad tikimybė būtų didesnė nei pusė.Skaityti visą →; padarykite tai tūkstantį kartų (simuliatoriai tai gali), ir jį išmatuosite.
Formulė
Klausimai
Lygiai tas pats, tik 37 skyreliai vietoj 365 dienų. Gimtadieniams 50% duoda 23 žmonės; ratui 56% duoda 8 sukimai.
50% po maždaug 19 sukimų. Vis dar įprastas dalykas.
Ne. Tūkstančiai vieno rato sukimų galėtų parodyti; pasikartojimas – niekada.
Linksmoji matematika
Pirmiausia pabandykite išspręsti patys. Kiekvienas sprendimas suskleistas; atverskite jį, kai norėsite.
Rezultatų švieslentė prie amerikietiško rato rodo paskutinius 16 sukimų. Kokia tikimybė, kad joje joks skaičius nepasikartos?
Rodyti sprendimą
Atsakymas Maždaug 2,5%: apytiksliai 39 švieslentės iš 40 rodo bent vieną pasikartojimą.
Eikite sukimas po sukimo. Pirmasis sukimas gali būti bet koks. Antrasis neturi su juo sutapti: 37 iš 38. Trečiasis neturi sutapti nė su vienu iš jų: 36 iš 38. Šešioliktasis neturi sutapti nė su vienu iš penkiolikos skaičių: 23 iš 38.
Sudauginkite: 38/38 × 37/38 × 36/38 × … × 23/38 ≈ 0,0246.
Švieslentė be pasikartojimų yra retenybė. Švieslentė su pasikartojimu nieko nepasako apie ratą.
Kokia tikimybė, kad per dešimt europietiško rato sukimų 17 iškris lygiai penkis kartus? Kad kuris nors skaičius, bet kuris, iškris penkis ar daugiau kartų? Ir kad kuris nors skaičius per keturis sukimus iškris bent tris kartus?
Rodyti sprendimą
Atsakymas 17 lygiai penkis kartus: 1 iš 315 576. Kuris nors skaičius penkis ar daugiau kartų: maždaug 1 iš 8 333. Kuris nors skaičius tris ar daugiau kartų per keturis sukimus: 1 iš 349.
17 penkis kartus: pasirinkite, kurie penki iš dešimties sukimų, 252 būdai, kiekvienas su tikimybe (1/37)⁵ × (36/37)⁵. Iš viso 1 iš 315 576.
Kuris nors skaičius: kiekvieno iš 37 skaičių tikimybė iškristi penkis ar daugiau kartų yra 1 iš 308 325, todėl gaunama 37 iš 308 325, arba 1 iš 8 333. Retas atvejis, kai du skaičiai iškrenta po penkis kartus, suskaičiuojamas du kartus, bet jį atėmus šiuo tikslumu niekas nepasikeičia.
Tris kartus per keturis sukimus: vienam skaičiui 4 × 36 + 1 = 145 iš 37⁴ galimų rezultatų; bet kuriam iš 37 skaičių 145/37³ = 1 iš 349.
Wizard of Odds atsakė į šių klausimų versijas ratui su dviem nuliaisratasNulisVienintelis žalias skyrelis, kurio nedengia nė vienas statymas 1:1, tuzino ar stulpelio statymas; kazino pranašumo šaltinis. Dar vadinama: vienas nulis, 0.Skaityti visą →; mūsų skaičiai tam ratui yra 1 iš 359 275, 1 iš 9 243 ir 1 iš 368. Skirtumas tarp „17“ ir „kurio nors skaičiaus“ – vėl gimtadienių uždavinysmatematikaGimtadienių uždavinysKiek žmonių reikia, kad dviejų gimtadieniai tikriausiai sutaptų, arba kiek sukimų, kol kuris nors skaičius tikriausiai pasikartos. 37 skyrelių rate 8 sukimų pakanka, kad tikimybė būtų didesnė nei pusė.Skaityti visą →: yra 37 būdai nustebti.
Komiška pertraukėlė
Kažkas pasikartoja anksti. Tas kažkas – atsitiktinis.
Šaltiniai
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Wizard of Odds. “Ask the Wizard”, klausimai apie ruletę.