Uždavinys: stalo limitas
Martingale sistema nuo $10 prie stalo su $500 limitu. Kaip dažnai ji lūžta, kiek praranda lūždama ir ar limito padidinimas padeda?
Ją palaužia šeši pralaimėjimai iš eilės: 1,8% per ciklą, maždaug 60% 100 sukimų sesijų. Lūžis kainuoja $630. Padidinus limitą iki $5 000, lūžis tampa retesnis (0,25% per ciklą) ir didesnis ($5 110). Tikėtinas nuostolis vienam pastatytam doleriui yra 2,70% esant bet kokiam limitui.
Uždavinys
Lošėjas stato $10 ant raudonosstatymasRaudonaStatymas 1:1 ant 18 raudonų skaičių. Prancūziškai: rouge.Skaityti visą → ir po kiekvieno pralaimėjimo statymą dvigubina, o po laimėjimo grįžta prie pradinio. Stalo maksimumas – $500. (a) Kiek pralaimėjimų iš eilės palaužia progresijąstrategijaProgresijaBet kuri taisyklė, keičianti statymo sumą pagal ankstesnius rezultatus. Neigiamos progresijos ją didina po pralaimėjimų, teigiamos – po laimėjimų.Skaityti visą →? (b) Kokia tokio lūžio tikimybėmatematikaTikimybėBaigties tikimybė, nuo 0 iki 1 arba nuo 0% iki 100%. Vienas skaičius: 1/37 = 2,70%.Skaityti visą → per ciklą? (c) Kiek prarandama lūžus? (d) Kaip atsakymus pakeičia $5 000 limitas? (e) Ar kuris nors limitas daro sistemą pelningą?
Sprendimai (a)–(c)
Statymai: 10, 20, 40, 80, 160, 320. Septintasis būtų 640 > 500, todėl ją palaužia šeši pralaimėjimai. (b) p(pralaimėjimo) = 19/37 statant ant raudonos; (19/37)⁶ = 0,0183, maždaug 1,8% per ciklą. Ciklas vidutiniškai trunka apie du sukimus, todėl 100 sukimų sesijoje yra maždaug 50 ciklų, ir p(bent vienas lūžis) ≈ 1 − 0,9817⁵⁰ ≈ 60%. (c) 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 = $630, tai 63 baziniai vienetaipinigaiVienetasBazinė statymo suma, kuria remiasi sistema arba lošėjas. Progresijos aprašomos vienetais, kad tiktų bet kuriam stalui.Skaityti visą →, palyginti su $10, kuriuos ciklas bandė laimėti.
Sprendimas (d)
Esant $5 000: leidžiami statymai iki 2 560; dešimtasis statymas, 5 120, atmetamas. Ją palaužia devyni pralaimėjimai: (19/37)⁹ ≈ 0,25% per ciklą, maždaug 11% 100 sukimų sesijų. Nuostolis lūžus: 10 + 20 + … + 2 560 = $5 110. Lošėjas nusipirko retesnę katastrofą už didesnės katastrofos kainą. Per daug sesijų tikėtina lūžių kaina yra p × nuostolis ≈ 0,0183 × 630 = $11,5 per ciklą esant $500 limitui ir 0,0025 × 5 110 = $12,8 esant $5 000; apvalinimo tikslumu tai tas pats skaičius, ir tai yra ciklo tikėtinas nuostolismatematikaTikėtinas nuostolisTikėtinoji vertė, padauginta iš visos pastatytos sumos; vidutinė suma, prarandama per sesiją arba laikotarpį.Skaityti visą →, atėmus $10, kuriuos uždirba laimėję ciklai.
Sprendimas (e)
Ne. Tikėtinas nuostolis per ciklą = (tikėtina visa cikle pastatyta suma) / 37 esant bet kokiam limitui, nes kiekvienas statymas yra −1/37 savo sumos. Limitas lemia tik tai, kaip nuostolis pasiskirsto tarp daugybės mažų laimėjimų ir kelių didelių nuostolių. Be jokio limito ir su begaliniu lošimo biudžetupinigaiLošimo biudžetasVisa lošimui atidėta suma (žargone – bankrolas). Lošimo biudžeto valdymas – tai sprendimas, kokią jos dalį rizikuoti vienu statymu ir per vieną sesiją.Skaityti visą → progresija „veiktų“ ta prasme, kad niekada nelūžtų, bet ji taip pat pastatytų neribotą sumą, o tikėtinas nuostolis būtų 2,70% tos neribotos sumos. Ne stalo limitasstalasStalo limitasMažiausias ir didžiausias leidžiamas statymas. Būtent maksimumas sustabdo dvigubinimo progresijas.Skaityti visą → trukdo Martingale sistemaistrategijaMartingale sistemaProgresija, po kiekvieno pralaimėjimo dvigubinanti statymą. Ką ji daro ir ko nedaro, žr. skyriuje „Strategijos“.Skaityti visą → veikti. Trukdo aritmetika.
Du tikri stalai
Thorpo pavyzdys – stalas su $1 minimumu ir $1 000 maksimumu, prie kurio lošėjas tikisi po dolerį laimėti $30 vakarienei. Statymai 1, 2, 4 … 512 leidžia dešimt statymų, todėl progresiją palaužia dešimt pralaimėjimų iš eilės: kartą per 785 ciklus europietiškame rate (kartą per 613 amerikietiškame), o tai kainuoja $1 023. Visi trisdešimt ciklų pavyksta 96,2% atvejų. Likusiais 3,8% atvejų prarandama apie $1 000, o vidutinis vakaro rezultatas yra −$9,17 – lygiai 1/37 nuo $339, kuriuos trisdešimt ciklų vidutiniškai pastato. Stalas su $5 minimumu ir $2 000 maksimumu niekuo nesiskiria: statymai iki $1 280 leidžia devynis statymus, lūžis įvyksta kartą per 403 ciklus europietiškame rate (kartą per 323 amerikietiškame) ir kainuoja $2 555.
Turtingas lošėjas
Suteikime progresijai gilų lošimo biudžetą vietoj žemo limito: 1 000 vienetų, vieno vieneto bazinis statymas ir 1 000 sukimų ant raudonos, vėl pradedant nuo vieno vieneto, kai kitas padvigubintas statymas viršija tai, kas liko. Sumodeliavome milijoną tokių vakarų. Europietiškame rate 52% vakarų baigiasi su pelnu, 21% – praradus viską, o vidutinis rezultatas yra −124 vienetai. Net lošime be nulioratasNulisVienintelis žalias skyrelis, kurio nedengia nė vienas statymas 1:1, tuzino ar stulpelio statymas; kazino pranašumo šaltinis. Dar vadinama: vienas nulis, 0.Skaityti visą →, kur kiekvienas statymas teisingas, su pelnu baigtųsi tik apie 60% vakarų. Įprastas vakaras – nedidelis laimėjimas; vidurkį apmoka vakarai, kurie baigiasi nuliu.
Pamoka
Kazino nustato limitus, kad apribotų savo pačių dispersijąmatematikaDispersijaMatas, rodantis, kaip plačiai rezultatai išsibarstę aplink tikėtinąją vertę. Didelė statymo ant vieno skaičiaus, maža statymų 1:1.Skaityti visą →, o ne kad nugalėtų sistemas. Martingale sistemos nugalėjimas yra šalutinis poveikis, kuriuo jie mielai naudojasi, o aritmetika ją nugalėtų bet kuriuo atveju. Lošėjas, manantis, kad problema yra limitas, aptiko skardį ir supainiojo jį su nuokalne.
Formulė
Klausimai
Jis leidžia išsilaikyti iki aukštesnio limito, kur lūžis retesnis ir didesnis. Tikėtinas nuostolis vienam doleriui nesikeičia.
Statymai 10, 30, 70, 150, 310: $500 limitas pasiekiamas po penkių pralaimėjimų, o lūžis kainuoja $570. Tie patys 2,70%.
Kad vienas lošėjas negalėtų pastatyti daugiau, nei kazino rezervas gali ramiai išmokėti. Dispersijos valdymas.
Linksmoji matematika
Pirmiausia pabandykite išspręsti patys. Kiekvienas sprendimas suskleistas; atverskite jį, kai norėsite.
MartingalestrategijaMartingale sistemaProgresija, po kiekvieno pralaimėjimo dvigubinanti statymą. Ką ji daro ir ko nedaro, žr. skyriuje „Strategijos“.Skaityti visą → sistema pradeda nuo $100 ant raudonosstatymasRaudonaStatymas 1:1 ant 18 raudonų skaičių. Prancūziškai: rouge.Skaityti visą → ir leidžia sau daugiausia n statymų per ciklą: po n pralaimėjimų iš eilės ji pasiduoda ir pradeda iš naujo. Užrašykite vieno ciklo vidutinį rezultatą kaip n formulę ir apskaičiuokite jį 5, 6 ir 7 statymams europietiškame rate.
Rodyti sprendimą
Atsakymas Vidurkis yra 100 × (1 − (38/37)ⁿ): −$14,26 5 statymams, −$17,35 6 ir −$20,52 7. Leidžiant daugiau statymų vidutinis ciklas tampa blogesnis, o ne geresnis.
Ciklas laimi $100, nebent pralaimi visi n statymų, o tai nutinka su tikimybe qⁿ, kur q = 19/37. Kai visi pralaimi, statymo sumos 100, 200 … 100 × 2ⁿ⁻¹ sudaro 100 × (2ⁿ − 1). Taigi vidurkis yra 100 × (1 − qⁿ) − 100 × (2ⁿ − 1) × qⁿ = 100 × (1 − (2q)ⁿ).
Čia 2q = 38/37, šiek tiek daugiau nei 1, todėl (2q)ⁿ didėja su n, o vidurkis mažėja: n = 5 duoda 1,1426 ir −$14,26; n = 6 duoda 1,1735 ir −$17,35; n = 7 duoda 1,2052 ir −$20,52. Ilgesnės kopėčios pralaimi rečiau, 3,6%, 1,8% ir 0,9% ciklų, bet kiekvienas nuostolis dvigubai didesnis, ir per kiekvieną ciklą per stalą pereina daugiau pinigų, po 2,70% nuo kiekvieno statymo.
Amerikietiškame rate 2q = 40/38, o skaičiai yra −$29,24, −$36,04 ir −$43,20 (Tayloras, 2021). Lošime be nulioratasNulisVienintelis žalias skyrelis, kurio nedengia nė vienas statymas 1:1, tuzino ar stulpelio statymas; kazino pranašumo šaltinis. Dar vadinama: vienas nulis, 0.Skaityti visą → 2q = 1, ir kiekvieno ciklo vidurkis lygiai nulis, kad ir kokios ilgos būtų kopėčios.
„Didžioji Martingale“ sistema po pralaimėjimo padvigubina statymo sumą ir prideda vieną vienetąpinigaiVienetasBazinė statymo suma, kuria remiasi sistema arba lošėjas. Progresijos aprašomos vienetais, kad tiktų bet kuriam stalui.Skaityti visą →, todėl sumos yra 1, 3, 7, 15, 31 … Kiek esate pliuse, kai pirmasis laimėjimas ateina 1-uoju, 2-uoju, 3-iuoju ar k-uoju statymu? Kai vienetas $10, o maksimumas $500, kaip dažnai ciklas nutrūksta ir kiek ciklas vidutiniškai kainuoja?
Rodyti sprendimą
Atsakymas Laimėjimas k-uoju statymu palieka jus k vienetų pliuse: +1, +2, +3 ir t. t. Esant $10 ir $500, ciklas nutrūksta po penkių pralaimėjimų, 3,57% ciklų, su −$570. Vidutiniškai ciklas praranda $2,32 iš pastatytų $85,73: 2,70%.
k-oji statymo suma yra 2ᵏ − 1 vienetų: 1, 3, 7, 15, 31. Pirmųjų k − 1 sumų suma yra 2ᵏ − 2 − (k − 1) = 2ᵏ − k − 1. Laimėjimas k-uoju statymu išmoka 2ᵏ − 1, todėl ciklas baigiasi (2ᵏ − 1) − (2ᵏ − k − 1) = k vienetų pliuse: po vieną papildomą vienetą už kiekvieną pralaimėjimą prieš laimėjimą.
Kai vienetas $10, sumos yra $10, $30, $70, $150 ir $310; kita, $630, viršija $500 maksimumą. Penki pralaimėjimai iš eilės, (19/37)⁵ = 3,57%, kainuoja 10 + 30 + 70 + 150 + 310 = $570.
Vidurkis: laimėjimai atneša $10 × k su tikimybe (19/37)ᵏ⁻¹ × 18/37, kai k yra nuo 1 iki 5, o nutrūkimas atima $570 su tikimybe 3,57%; kartu −$2,32. Vidutiniškai per ciklą pastatoma $85,73, o 2,32/85,73 = 2,70%. Įprasta Martingale sistema prie to paties stalo nutrūksta po šešių pralaimėjimų, 1,83% ciklų, su −$630, ir praranda $1,74 iš pastatytų $64,20: vėl 2,70%.
Lošėjas planuoja Martingale sistemą ant raudonos, pirmas statymas $1, prie stalo, kurio limitas $1 000, todėl galimi dešimt statymų: $1, $2, $4 ir taip toliau iki $512. Kaip dažnai ciklas pralaimi visus dešimt, kiek vidutiniškai tai užtrunka ir kaip dažnai 200 statymų vakaras taip baigiasi?
Rodyti sprendimą
Atsakymas Ciklas pralaimi visus dešimt maždaug kartą iš 784, ir tai kainuoja $1 023. Tai vidutiniškai apie 1 600 statymų, o 200 statymų vakaras atsitrenkia į sieną maždaug 11% atvejų. Ciklas vis tiek vidutiniškai praranda $0,31 iš pastatytų $11,31: 2,70%.
Statymas ant raudonos pralaimi su tikimybe 19/37, įskaitant nulį. Dešimt iš eilės: (19/37)¹⁰ ≈ 0,00128, apie 1 iš 784. Statymo sumos 1 + 2 + 4 + … + 512 sudaro $1 023.
Ciklas vidutiniškai trunka 2,05 statymo, todėl 784 ciklai trunka apie 1 600 statymų. Skaičiuojant sukimas po sukimo, dešimties pralaimėjimų serija kur nors per 200 statymų pasitaiko 11,3% atvejų.
Tarp katastrofų lošėjas laimi $1 per ciklą: apie $783 iki blogojo, tada −$1 023, apie −$240 per visą atkarpą. Vienam ciklui: 1 × (1 − 0,00128) − 1 023 × 0,00128 ≈ −$0,31. Pastatyta suma vienam ciklui: 1 + 2 × (19/37) + 4 × (19/37)² + … + 512 × (19/37)⁹ ≈ $11,31. Ir −0,31/11,31 = −2,70%.
Palyginkite su $10 pirmu statymu prie $500 limito stalo, šeši statymai: siena pasitaiko kartą per 55 ciklus, o 200 statymų vakaras su ja susiduria 84% atvejų. Didesnis limitas krachą padaro retesnį ir didesnį, bet ne pigesnį.
Komiška pertraukėlė
Retesnis ir didesnis, esant bet kokiam limitui. Sandauga pastovi.
Šaltiniai
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.