Kelly kriterijus ir ruletė
Kelly kriterijus pasako pranašumą turinčiam lošėjui, kiek statyti. Ruletei jis duoda aiškų atsakymą: nieko.
Kelly statymas = pranašumas / šansai. Esant neigiamam pranašumui formulė grąžina neigiamą dalį, o tai reiškia – nestatyti. Kriterijus vis tiek naudingas norint suprasti, kodėl šališkų ratų lošėjai statė būtent tokias sumas ir kodėl visi kiti turėtų statymo dydį rinktis pagal biudžetą.
Kriterijus
Johnas Kelly (1956) klausė, kaip žinomą pranašumą turintis lošėjas turėtų parinkti statymų dydį, kad ilguoju laikotarpiu lošimo biudžetaspinigaiLošimo biudžetasVisa lošimui atidėta suma (žargone – bankrolas). Lošimo biudžeto valdymas – tai sprendimas, kokią jos dalį rizikuoti vienu statymu ir per vieną sesiją.Skaityti visą → augtų sparčiausiai. Atsakymas statymui, kuris moka b prie 1, kai laimėjimo tikimybėmatematikaTikimybėBaigties tikimybė, nuo 0 iki 1 arba nuo 0% iki 100%. Vienas skaičius: 1/37 = 2,70%.Skaityti visą → yra p, o pralaimėjimo tikimybė q = 1 − p: statyti f* = (bp − q) / b lošimo biudžeto dalį. Teigiama f* reiškia statyti tokią dalį; nulis ar neigiama – nestatyti. Kelly dirbo Bell Labs, o jo straipsnis „A new interpretation of information rate“ uždavinį pateikė Claude'o Shannono informacijos teorijos rėmuose: lošėjas, gaunantis patarimus triukšmingu kanalu, esant teisingiems šansams, gali didinti lošimo biudžetą ne sparčiau, nei tas kanalas perduoda informaciją. 1961 m. Leo Breimanas įrodė, kad Kelly statymai ilguoju laikotarpiu aplenkia bet kurią iš esmės kitokią strategiją ir užsibrėžtą tikslą pasiekia maždaug per trumpiausią įmanomą laiką.
Pritaikius ruletei
Statymui ant raudonosstatymasRaudonaStatymas 1:1 ant 18 raudonų skaičių. Prancūziškai: rouge.Skaityti visą →: b = 1, p = 18/37, q = 19/37; f* = (18/37 − 19/37)/1 = −1/37. Statymui ant vieno skaičiausstatymasVienas skaičius (straight up)Vienas skaičius, moka 35:1.Skaityti visą → (straight up): b = 35, p = 1/37, q = 36/37; f* = (35/37 − 36/37)/35 = −1/1295. Kiekvienas standartinis statymas duoda neigiamą Kelly dalį, nes kiekvieno statymo pranašumas neigiamas, ir augimui optimali statymo suma yra nulis. Kelly kriterijus formaliai pasako tai, ką sako kazino pranašumo puslapis: nėra tokio dydžio, kuriam esant neigiamos tikėtinosios vertės statymas didintų lošimo biudžetą.
Kur Kelly kriterijus tikrai buvo taikomas
Šališkų ratų lošėjai turėjo pranašumą ir statymo dydžio problemą. Jaggeris, García-Pelayo šeima ir Eudaemonai turėjo nuspręsti, kiek statyti pagal išmatuotą pranašumą: per maži statymai iššvaisto pranašumą, o per dideli kelia prasilošimo riziką dar prieš pranašumui pasireiškiant. SkyreliuiįrangaSkyrelisVienas iš 37 sunumeruotų rotoriaus skyrelių. Angliškai dar: slot, cup.Skaityti visą →, kuris iškrenta 1 kartą iš 30, Kelly siūlo statyti 0,57% lošimo biudžeto per sukimą ant to skaičiaus: turint $10 000, tai maždaug $57 per sukimą, o tipinis augimas – apie 0,054% per sukimą, arba ×1,7 per 1 000 sukimų. Vidutinis prieaugis dvigubai didesnis, 0,11% per sukimą, tačiau Kelly taikosi į tipinį lošimo biudžetą, o ne į vidutinį, kurį išpučia kelios sėkmingos serijos. Pusė Kelly yra įprastas praktinis pasirinkimas, nes pranašumo įvertis neapibrėžtas.
Tipinis ir vidutinis
Atotrūkis tarp tipinio ir vidutinio lošimo biudžeto didelis. Paimkime skyrelį, kuris iškrenta 1 kartą iš 25, – tai 44% pranašumas, Thorpo nurodytas jo prietaisui. Kelly ant jo stato 1,26% lošimo biudžeto. Po 1 000 sukimų tipinis lošimo biudžetas išauga maždaug 11,5 karto, o vidutinis, kurį kelios labai sėkmingos serijos patempia aukštyn, – maždaug 249 kartus. Statant daugiau nei Kelly, vidurkis kyla, o tipinis rezultatas mažėja: statant dvigubą Kelly sumą tipinis lošimo biudžetas tik padvigubėja, o statant dvi su puse karto daugiau nei Kelly – sumažėja, nors kiekvienas statymas vis dar turi 44% pranašumą. Statyti mažiau kainuoja nedaug: perpus mažesnė suma išsaugo maždaug tris ketvirtadalius augimo.
Kai pranašumas tėra spėjimas
Kelly kriterijus daro prielaidą, kad pranašumas žinomas. Prie stalo jis tik įvertinamas, ir įvertis paprastai būna per didelis. Epsteino pavyzdys, paremtas Thorpo 44%, – skaičius, kuris rate su dviem nuliaisratasNulisVienintelis žalias skyrelis, kurio nedengia nė vienas statymas 1:1, tuzino ar stulpelio statymas; kazino pranašumo šaltinis. Dar vadinama: vienas nulis, 0.Skaityti visą → iškrito 49 kartus per 1 225 sukimus: 1 kartą iš 25, 44% pranašumas, Kelly statymas 1,26%. Tačiau nešališkame rate su dviem nuliais yra 38 skaičiai, ir dažniausiai iškrentantis iš jų 49 ar daugiau kartų per 1 225 sukimus iškrenta maždaug vieną kartą iš devynių. Dažniausias skaičius bet kuriame įraše kartu yra tas, kuriam sėkmė padėjo labiausiai, todėl net tikrai šališkas skyrelis įraše atrodo geriau, nei yra iš tikrųjų: tai laimėtojo prakeiksmas. Jei tas skyrelis iš tikrųjų nešališkas, Kelly statymas yra tiesiog statymas, kuris vidutiniškai praranda 5,26%. Įprasti atsakymai – statyti tik dalį Kelly sumos ir skaičiuoti toliau, kol pranašumas pasitvirtina naujame įraše (žr. „Kaip nustatyti rato šališkumą“).
Žmonės, turintys pranašumą
Žinoti pranašumą dar nereiškia gerai juo pasinaudoti. Haghani ir Dewey (2016) davė 61 žmogui po $25 ir pusvalandį leido statyti ant monetos, kuri, kaip jiems buvo pasakyta, 60% atvejų iškrenta herbu, o laimėjimai buvo apriboti iki $250 (apie ribą dalyviai sužinodavo tik ją pasiekę). Kelly siūlo kiekvieną kartą statyti 20% lošimo biudžeto ant herbo, o autoriai apskaičiavo, kad pastovūs 10–20% statymai ribą pasiektų maždaug 95% atvejų. Ją pasiekė tik 21% dalyvių. 28% prasilošė, 18 iš 61 vienu metimu pastatė viską, maždaug trečdalis baigė turėdami mažiau nei pradinius $25, o vidutinė išmokapinigaiIšmokaTai, ką grąžina laimėjęs statymas; nurodoma kaip „X prie 1“ papildomai prie grąžinamos statymo sumos.Skaityti visą → buvo $91. Tik penki iš 61 buvo girdėję apie Kelly kriterijų. Turint pranašumą, statymų dydis lemia, ar jį išsaugosite; neturint jo, kaip prie nešališko rato, nepadeda joks dydis.
Ką naudoti vietoj jo
Neturint pranašumo, statymo dydis yra biudžeto, o ne augimo klausimas: statymo suma = tai, ką sutinkate išleisti per sukimą, išvesta iš valandos biudžeto ir stalo tempo (lošimo biudžeto valdymo puslapis). Kelly kriterijaus įnašas paprastam lošėjui – atsakymo aiškumas: nulis. Viskas, ką statote virš nulio, yra lošimo kaina, kurią pasirenkate jūs, o ne optimizuoja kokia nors formulė.
Pastaba apie dalinį Kelly ir „pinigų valdymą“
Sistemos, parduodamos kaip „Kelly ruletei“, kurios kiekvienam statymui rekomenduoja fiksuotą lošimo biudžeto procentą, yra vienodi statymaistrategijaVienodi statymaiTos pačios sumos statymas kiekvieną sukimą. Atskaitos taškas, su kuriuo lyginama kiekviena progresija.Skaityti visą → su mažėjančia statymo suma. Jos praranda 2,70% apyvartospinigaiApyvartaVisa per sesiją arba laikotarpį pastatyta suma, įskaitant iš naujo pastatytus laimėjimus. Angliškai dar: handle, action.Skaityti visą → (visos pastatytos sumos), o kadangi pralaimint statymo suma mažėja, prasilošimą jos padaro lėtą, bet ne mažai tikėtiną. Tai protingas būdas ištęsti biudžetą; tai nėra Kelly kriterijus, kuris lieptų sustoti.
Formulė
Klausimai
Tik turint išmatuotą pranašumą dėl šališko ratolaboratorijaŠališkas ratasRatas, kurio fiziniai defektai kai kurių skyrelių tikimybę padaro didesnę nei 1/37. Retas; nustatomas tik užregistravus tūkstančius sukimų.Skaityti visą → ar laiko matavimo prietaiso. Prie nešališko rato – ne.
Nes pranašumo įvertis turi paklaidą, o per dideli statymai kainuoja brangiau nei per maži. Pusė Kelly duoda tris ketvirtadalius augimo esant ketvirtadaliui dispersijosmatematikaDispersijaMatas, rodantis, kaip plačiai rezultatai išsibarstę aplink tikėtinąją vertę. Didelė statymo ant vieno skaičiaus, maža statymų 1:1.Skaityti visą →.
Ne. Kelly kriterijus optimizuoja augimą, kai pranašumas yra. Lošimo biudžeto valdymas kontroliuoja išlaidas, kai jo nėra.
Linksmoji matematika
Pirmiausia pabandykite išspręsti patys. Kiekvienas sprendimas suskleistas; atverskite jį, kai norėsite.
Thorpo ir Shannono prognozavimo įrenginys suteikė maždaug 44% pranašumą. Vienam prognozuotam skaičiui Kelly kriterijus siūlo statyti 1,26% lošimo biudžetopinigaiLošimo biudžetasVisa lošimui atidėta suma (žargone – bankrolas). Lošimo biudžeto valdymas – tai sprendimas, kokią jos dalį rizikuoti vienu statymu ir per vieną sesiją.Skaityti visą →. O jei tas pats 44% pranašumas būtų gautas vienu statymu, paskirstytu penkiems gretimiems skaičiams?
Rodyti sprendimą
Atsakymas Tada Kelly kriterijus siūlo 7,1% lošimo biudžeto, o biudžetas auga beveik šešis kartus greičiau: per 1 000 statymų maždaug 1,25 milijono kartų, palyginti su maždaug 11,5 karto.
Statymas ant vieno skaičiausstatymasVienas skaičius (straight up)Vienas skaičius, moka 35:1.Skaityti visą → su 44% pranašumu laimi su tikimybe 0,04, nes 36 × 0,04 = 1,44. Kelly statymas yra pranašumas, padalytas iš šansų: 0,44/35 = 1,26%. Tipinis augimas vienam statymui yra 0,04 × ln(1 + 35 × 0,0126) + 0,96 × ln(1 − 0,0126) ≈ 0,00244, todėl 1 000 statymų padaugina lošimo biudžetą maždaug e^2,44 ≈ 11,5 karto.
Paskirstykite vieną statymo sumą penkiems skaičiams, ir statymas laimi su tikimybe 0,20 ir moka 36/5 už 1, tai yra 6,2 prie 1: pranašumas vis dar 44%, nes 0,2 × 7,2 = 1,44. Kelly statymas tampa 0,44/6,2 = 7,10%, o augimas vienam statymui – 0,01404, maždaug 5,75 karto daugiau. Per 1 000 statymų tai e^14,04, apie 1,25 milijono.
Pranašumas tas pats; svyravimai mažesni. Statymas, laimintis kartą iš penkių, gali sudaryti didesnę lošimo biudžeto dalį nerizikuojant prasilošti, ir Kelly augimas už tai atlygina. Thorpas (1984) šiuo pavyzdžiu parodo, kodėl prognozuojantys lošėjai stato ant sektoriųratasSektoriusIštisinis skyrelių lankas rate, kitaip nei skaičių grupė statymų lauke.Skaityti visą →. Praktiškai penki kaimynaistatymasKaimynaiSkaičius ir po du skyrelius iš abiejų jo pusių rate – penki žetonai ant pavienių skaičių.Skaityti visą → turi šiek tiek mažesnį pranašumą nei vienas geriausias skaičius (žr. „Lošimas turint pranašumą (advantage play)“).
Lošėjas rado du gretimus skyreliusįrangaSkyrelisVienas iš 37 sunumeruotų rotoriaus skyrelių. Angliškai dar: slot, cup.Skaityti visą →, kurių kiekvienas iškrenta 1 kartą iš 25, o ne 1 iš 37. Ar statyti ant dviejų skaičiųstatymasDu skaičiai (split)Du gretimi skaičiai, moka 17:1.Skaityti visą → tarp jų, kai moka 17 prie 1, ar ant kiekvieno skaičiaus atskirai? Kiek siūlo Kelly kriterijus ir kaip greitai auga lošimo biudžetas, palyginti su vienu tokiu skyreliu?
Rodyti sprendimą
Atsakymas Skirtumo nėra: 2,59% lošimo biudžeto ant dviejų skaičių arba po 1,29% ant kiekvieno skaičiaus. Tipinis lošimo biudžetas per 1 000 sukimų išauga apie 155 kartus, palyginti su 11,5 karto su vienu skyreliu.
Statymas ant dviejų skaičių laimi su tikimybematematikaTikimybėBaigties tikimybė, nuo 0 iki 1 arba nuo 0% iki 100%. Vienas skaičius: 1/37 = 2,70%.Skaityti visą → 2/25 = 0,08 ir moka 17 prie 1, todėl kiekvienam pastatytam vienetuipinigaiVienetasBazinė statymo suma, kuria remiasi sistema arba lošėjas. Progresijos aprašomos vienetais, kad tiktų bet kuriam stalui.Skaityti visą → grąžina 18 × 0,08 = 1,44: 44% pranašumas, toks pat kaip vieno šališko skyrelio. Kelly statymas yra pranašumas, padalytas iš šansų: 0,44/17 = 2,59%.
Du statymai ant vieno skaičiaus po 1,29% duoda lygiai tokius pačius rezultatus. Kai iškrenta bet kuris iš skaičių, vienas žetonaspinigaiŽetonasNustatytą sumą atitinkantis žetonas, dedamas ant statymų lauko statymui atlikti. Angliškai dar: cheque.Skaityti visą → laimi 35 prie 1, o kitas pralaimi, grynasis rezultatas 34 × 1,29% = 44% lošimo biudžeto, tiek pat, kiek moka statymas ant dviejų skaičių; kai neiškrenta nė vienas, pralaimi abu.
Augimas vienam sukimui yra 0,00505, palyginti su 0,00244 vienam skyreliui, todėl per 1 000 sukimų tipinis lošimo biudžetas išauga e^5,046 ≈ 155 kartus, o ne e^2,44 ≈ 11,5 karto. Du geri skaičiai verti daug daugiau nei dvigubai vienas, todėl šališkumo ieškantys lošėjai stato ant skaičių grupių. Thorpas (1984) atlieka tą patį palyginimą.
Komiška pertraukėlė
Augimui optimali statymo suma ruletėje – skaičius, kurį visi jau žino.
Šaltiniai
- Kelly, J. L. “A new interpretation of information rate.”
- Breiman, L. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Haghani, V. & Dewey, R. “Rational decision-making under uncertainty: observed betting patterns on a biased coin.”